2018-06-28

概述

$a^b\equiv c \pmod m$ 对已知m,知二求一。

1. 快速幂 求同余数

$a^b\equiv x \pmod m$,求x

如果a,b均较小,计算机可以直接计算。但如果a,b和m都比较大,需要进行简化。

两个性质:

性质1:

证明:

性质2

证明

求解

如果(a,m)=1 互质,根据欧拉$a^{\phi m}\equiv 1 \pmod m$则可设

取模后,

2. 求指数

$a^x \equiv c \pmod m $ 求x,x为整数。 如果a是m的原根,则是求$Ind_a m$ 最简单的方式,就是将x的值从0开始尝试,不成功则+1再计算。但这种方式很低效。

BSGB(Baby step,Giant-step)算法采用空间换时间的方法。 问题可以转化为对阶数为m的循环群G,a是生成数,c是G的一个元素,转化为求 $a^x = c $ 令$x=ki+j$ 其中$ k = \left\lceil \sqrt{m} \right\rceil , 0 \leq i < k , 0 \leq j < k $ 则可得到

预先计算$a^j$各值,然后尝试i值。

计算步骤:

令 x=ki+j 求解

  1. 计算k值: k = Ceiling(√m)
  2. 对每个 0 ≤ j < k: 计算 $a^j \mod m$ 并且保存键值对 $(j, a^j \mod m)$到一个Hashtable。
  3. 计算 $a^{k}$.
  4. 对每个 i, 0 ≤ i < k: 检查 $(a^k)^i\times a^j \mod m$是否和c相等。 如果相等,则返回 $ik + j$. 如果不等则 $i=i+1$,继续计算.

3. 求底数

欧几里德算法

欧几里德算法又叫辗转相除法,用于求最大公约数。 gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)

证明: 假设m,n为整数,有最大公约数整数d, 且m>n

裴蜀定理 Bézout’s identity

裴蜀定理(或贝祖定理)得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约 数d,关于未知数x和y的线性不定方程(称为裴蜀等式):若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。 它的一个重要推论是:a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

扩展欧几里德算法(Extended Euclidean algorithm)

对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

根据欧几里德算法,我们设每次辗转相除是商数为$q_i$,余数为$r_i$,斐蜀系数$s_i,t_i$. 如果$r_{k+1}=0$,则$r_k=gcd(a,b)$,有$gcd(a,b)=r_k=as_k+bt_k$

设 $a=r_0,b=r_1$ 则有 $ s_{k+1}=\pm {\frac {b}{\gcd(a,b)}} , t_{k+1}=\pm {\frac {a}{\gcd(a,b)}}$

证明: 设 $a=r_0,b=r_1,s_0=1,s_1=0,t_0=0,t_1=1$,当i=0和1时,$ as_{i}+bt_{i}=r_{i}$ 成立。对所有i>1有:

辗转相除法一定会导致最后的余数为0. 令i+1 = k+1 时余数为0,$r_{i+1}=0$,则$r_-r_{i}q_{i}=(as_+bt_)-(as_{i}+bt_{i})q_{i}=0$ 得到 $(as_+bt_)=(as_{i}+bt_{i})q_{i}$ 此时 $gcd(a,b)=r_k=as_{i}+bt_{i},(i=k)$

推算

假设m为质数,用p代替,g为p的原根

t1可以由第二种情况解出。

令$t2=ind_gx$,则

由扩展欧几里得求出所有t2的值

变成第一种情况,可以由快速幂求出x的值。

参考

维基 大步小步BSGS算法

维基 扩展欧几里德


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